距離や norm っぽいもの集
距離函數$ d:M\times M\to\R
距離の公理
對稱性$ d(p,q)=d(q,p)
三角不等式 (triangle inequality)$ d(p,q)+d(q,r)\ge d(p,r)
公理より、非負性$ d(p,q)\ge 0を導ける
到達可能性距離 (reachability distance)
擬距離 (pseudometric)
$ x\ne yに對して$ d(p,q)=0であってよい
強三角不等式 (超距離不等式)$ d(p,r)\le\max(d(p,q),d(q,r))
一般化距離空閒 (generalized metric spaces)
ウィリアム・ローヴェアの一般化された距離空閒、すなわち擬準距離空閒は、非負擴張實數の全體$ \R^{+\infty}を通常の大小關係の成す順序の逆で圈と見なしたもの（つまり、射$ r\to sが存在する必要充分條件が$ r\ge s）に加法$ +をモノイド積、$ 0をモノイド單位とするモノイド構造をいれたmonoidal 圈で豐饒化された圈である。射對象$ \R^{+\infty}(a,b)は本質的に距離$ d(a,b)であり、合成と恆等射の存在は三角不等式$ d(b,c)+d(a,b)\ge d(a,c)および非負性$ 0\le d(a,a)に飜譯される。 擴大擬準距離を備えた集合はウィリアム・ローヴェアが「一般化距離空間」("generalized metric spaces") として研究した。圈論的な觀點からは、擴大擬距離空閒の全體や擴大擬準距離空閒の全體は、對應する距離函數を通じて、距離空閒の圈のなかで考へるとよく振る舞ふ。これらの圈では自由に積 (圈)や餘積をとったり商對象 (quotient object)を構成したりできるが、ひとたび「擴大」といふ部分を落とすと有限積や有限餘積しかとれなくなり、「擬」という部分を落とすと商が取れなくなる。approach 空閒はこれらの圈論的に良い性質を保持するやうな距離空閒の一般化である。